Question

已知：如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形．

1.求证：BC＝BP；

2.求点C到BP的距离．

Answer

1.证明：如图，连结PC．

∵AC＝1，BD＝1，  ∴AC＝BD．

∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，

∵△PAD是等边三角形，

∴PA＝PD，∠D＝60°．

∴∠1＝∠D．

∴△PAC≌△PDB．

∴PC＝PB，∠2＝∠3．

∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．

∴△PBC是等边三角形，BC＝BP．

证法二：作BM∥PA交PD于M，证明△PBM≌△BCA．

2.解法一：如图，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．

∵AB＝3，BD＝1，  ∴AD＝4．

∵△PAD是等边三角形，PF⊥AB，

∴BF＝DF－BD＝1，

即点C到BP的距离等于

解法二：作BN⊥DP于N，

以下同解法一．

 【解析】略