Question

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．

1.求∠D的度数；

2.求证：AC²＝AD·CE；

3.求的值．

Answer

1.【解析】
如图，连结OB．

∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝90°．

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

∵AD∥OC，

∴∠D＝∠OCB＝45°．

2.证明：∵∠BAC＝45°，∠D＝45°，

∴∠BAC＝∠D．

∵AD∥OC，

∴∠ACE＝∠DAC．

∴△ACE∽△DAC．

∴AC2＝AD·CE．

3.解法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连结OA．

∵AD∥OC，

∴∠F＝∠BOC＝90°．

∵∠ABC＝15°，

∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝30°．

∵OA＝OB．

∴∠FOA＝∠OBA＋∠OAB＝60°，∠OAF＝30°．

∴．

∵AD∥OC，

∴△BOC∽△BFD．

即的值为2．

解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得

所以

 【解析】略