Question

已知：抛物线与x轴交于

点A(x₁，0)、B(x₂，0)，且x₁＜1＜x₂．

1.求A、B两点的坐标(用a表示)；

2.设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；

3.若a是整数，P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合)，

在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的

解析式及线段PQ的长的取值范围．

Answer

1.∵抛物线与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，

∴x1、x2是关于x的方程的解．

方程可简化为x2＋2(a－1)x＋(a2－2a)＝0．

解方程，得x＝－a或x＝－a＋2．

∵x1＜x2，－a＜－a＋2，

∴x1＝－a，x2＝－a＋2．

∴A、B两点的坐标分别为A(－a，0)，B(－a＋2，0)．

2.∵AB＝2，顶点C的纵坐标为

∴△ABC的面积等于

3.x1＜1＜x2，  ∴－a＜1＜－a＋2．

∴－1＜a＜1．

∵a是整数，

∴a＝0，所求抛物线的解析式为y＝

解法一：此时顶点C的坐标为

如图，作CD⊥AB于D，连结CQ．

则AD＝1，

∴∠BAC＝60°．

由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形．

由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，

点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN为平行四边形，

C、Q、P三点共线，且

∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，

解法二：设点P的坐标为P(x，0)(0＜x＜2)．

如图，作MM1⊥AB于M1，NN1⊥AB于N1．

∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，

∴AM＝AP＝x，BN＝BP＝2－x，

∠MAP＝60°，∠NBP＝60°．

∴M、N两点的坐标分别为

可得线段MN的中点Q的坐标为

由勾股定理得

∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2，

 【解析】略