Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与

⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．

1.（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

2.（2）若OE与AD交于点F，，求的值．

Answer

1.（1）证明：连接OD．（如图6）

              ∵ AD平分∠BAC，

              ∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分

              ∵ OA=OD，                      

              ∴ ∠1=∠3．

              ∴∠2=∠3．

      ∴ OD∥AE．

∵ DE⊥AC，

∴ ∠AED=90°．

∴ ．…………2分

∴ DE⊥OD．

∵ OD是⊙O的半径，

∴ DE是⊙O的切线．

2.（2）【解析】
作OG⊥AE于点G．（如图6）

            ∴ ∠OGE=90°．

 ∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．

∴ 四边形OGED是矩形．

∴ OD=GE．……………………………………………………………………4分

在Rt△OAG中，∠OGA=90°，，设AG=4k，则OA=5k．

∴ GE=OD =5k．

∴ AE=AG+GE=9k．

∵ OD∥GE，

∴ △ODF∽△EAF．

∴ ．

【解析】略