Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足

，连结MC，NC，MN．

1.（1）填空：与△ABM相似的三角形是△        ，=         ；（用含a的代数式表示）

2.（2）求的度数；

3.（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

Answer

1.（1）与△ABM相似的三角形是△ NDA ，

2.（2）由（1）△ABM∽△NDA可得． ………………3分

∵ 四边形ABCD是正方形，

     ∴ AB=DC，DA= BC，．

∴ ．

∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，

∴ ．

             ∴ △BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分

∴ ．

∴

   ．

3.（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是．

（只猜想答案不证明不给分）

     证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则   

            △ABF≌△ADN． …………………………………………………6分

∴ ，AF=AN，BF=DN，．

∴ ．

∴ ．

又∵ AM= AM，

∴ △AMF≌△AMN．

∴ MF=MN．

可得．

∴ 在Rt△BMF中，．

∴ ． …………………………………………7分

证法二：连接BD，作ME∥BD，与DN交于点E．（如图10）

          可知，．……………………………………6分

          ∵ ME∥BD，

∴ ．

∵ ，

∴ 四边形BDEM是矩形．

∴ ME=BD，BM=DE．

在Rt△MEN中，，

∴   

．

【解析】略