Question

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

1.如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，

求证：FM = MH，FM⊥MH

2.将图-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，

求证：△FMH是等腰直角三角形

3.将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必

说明理由）

Answer

1.证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，

又∵点N与点G重合，点M与点C重合，

∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．

∴△FBM ≌ △MDH．

∴FM = MH．

∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM．

2.证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，

且MB=CD=DH．

∴四边形BCDM是平行四边形．

∴ ∠CBM =∠CDM．

又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．

∴△FBM ≌ △MDH．

∴FM = MH，

且∠MFB =∠HMD．

∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．

∴△FMH是等腰直角三角形

3.是

 【解析】略