Question

三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．

   1.在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；

   2.△BCD是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

   3.设，试求k的值；

   4.如图2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁＝108°，且A₁B₁＝AB，

请直接写出的值．

Answer

1.如图所示

2.△BCD是黄金三角形．

证明如下：  

        ∵点D在AB的垂直平分线上，

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A．

∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

∴∠ABD＝∠DBC＝36°．

又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，

∴∠BDC＝∠C，

∴BD＝BC，

∴△BCD是黄金三角形．

3.设BC＝x，AC＝y，

由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．

     ∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，

∴△BDC∽△ABC，

∴，即，

     整理，得，

     解得．/

     因为x、y均为正数，所以．

4.

 理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．

 ∵∠A＝36°，AB＝AC，

  ∴∠ACB＝∠B＝72°，

  ∴∠ACE＝180°－72°＝108°，

  ∴∠ACE＝∠B1A1C1．

  ∵A1B1＝AB，

  ∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，

  ∴△ACE≌△B1A1C1，

  ∴AE＝B1C1．

  由（3）知，，

  ∴，，

  ∴．

 【解析】略