Question

如图，直线y＝x－3分别与y轴、x轴交于点A，B，抛物线y＝－x²＋2x＋2与y轴交于点C，此抛物线的对称轴分别与BC，x轴交于点P，Q．

1.求证：AB＝AC；

2.求证：AP垂直平分线段BC．

Answer

1.可求得A（0，－3），B（4，0），C（0，2）．

    ∴ OA＝3， OB＝4， OC＝2．

    ∴ AC＝OA＋OC＝5．

       AB＝＝＝5．

    ∴ AB＝AC．…………………………………………………………………… 3分

2.∵ 抛物线y＝－x2＋2x＋2的对称轴是直线x＝2，

∴ 点Q的坐标为（2，0）．∴ OQ＝BQ＝2．

∵ PQ∥y轴， ∴△BPQ∽△BCO．

∴ ＝＝＝．

∴ BP＝PC．…………………………………………………………………… 5分

又∵ AB＝AC， ∴ AP⊥BC．

九年级数学试题答案（四年制）第2页（共3页）

∴ AP垂直平分线段BC．……………………………………………………… 6分

说明：要证BP＝PC，也可利用勾股定理先求出BC的值，再利用三角函数求出BP的值．

 【解析】略