Question

（本小题满分8分）                     

 如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．

（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；

（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，

sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

 

Answer

（1）相等，证明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF．

又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．

在△AEF与△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，

∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．    …………………………………………  4分

 （2）作AH⊥PQ，垂足为H，设AE＝x，

则AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．

Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，

∴x≈3.6，即AB≈3.6 km．答：略．…………………………………………8分

【解析】

此题考查的知识点有三角形全等、三角函数的计算。