Question

（本题满分10分）如图，一次函数y＝k₁x＋b的图象经过

A（0，－2），B（1，0）两点，与反比例函数的

图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，

求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

见解析

【解析】1）∵直线y＝k1x＋b过A（0，－2），B（1，0）两点

∴      

∴已知函数的表达式为y＝2x－2．（3分）

∴设M（m，n）作MD⊥x轴于点D

∵S△OBM＝2，

∴，

∴

∴n＝4    （4分）

∴将M（m，4）代入y＝2x－2得4＝2m－2，

∴m＝3

∵M（3，4）在双曲线上，

∴

∴k2＝12

∴反比例函数的表达式为    （5分）

（2）存在。 （6分）   过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，

∵MD⊥BP，

∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO

∴tan∠PMD＝tan∠MBD＝tan∠ABO＝＝2     （8分）

∴在Rt△PDM中， 

∴PD＝2MD＝8，

∴OP＝OD＋PD＝11

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）     （10分）