Question

如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点D（0，3）．

1.直接写出的值；

2.若抛物线与轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点为C点，求直线BC的解析式；

3.已知点P是直线BC上一个动点，

①当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PE⊥轴，垂足为E，连结BE．设点P的坐标为（），△PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；

②试探索：在直线BC上是否存在着点P，使得以点P为圆心，半径为的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的⊙C相切？如果存在，试求的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

1.．……………………………（2分）

2.由（1）知抛物线为：

∴顶点C坐标为（1，4）    ……………………………（3分）

令   ∴ B（3，0）……………………（4分）

设直线BC解析式为：（），把B、C两点坐标代入，

得 解得．

∴直线BC解析式为．……………………（5分）

3.①∵点P（x，y）在的图象上，

∴PE，OE  ……………………（6分）

∴PE·OE

∴………………（7分）

  ．

符合，

∴当时，s取得最大值，最大值为．……（8分）

② 答：存在．

如图，设抛物线的对称轴交x轴于点F，则CF=4，BF=2.

 过P作PQ⊥CF于Q，则Rt△CPQ∽Rt△CBF

∴   ∴CQ=2r……………（9分）

当⊙P与⊙C外切时，CP．

解得舍去）．……………（10分）

此时．……………………（11分）

当⊙P与⊙C内切时，CP．

．

解得舍去）．……………………（12分）

此时．

∴当时，⊙P与⊙C相切．

点P的坐标为，

．……………………（13分）

【解析】略