Question

（本小题满分7分）

如图，已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D．

1.（1）求抛物线y₁ 的解析式；

2.（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°后，得到△AO′ B′ ，将抛物线y₁沿对称轴平移后经过点B′ ，写出平移后所得的抛物线y₂ 的解析式；

3.（3）设（2）的抛物线y₂与轴的交点为B₁，顶点为D₁，若点M在抛物线y₂上，且满足△MBB₁的面积是△MDD₁面积的2倍，求点M的坐标．

Answer

1.【解析】
(1)已知抛物线y1=-x2+bx+c经过点A(1,0)， B(0,-2)，       

∴    解得

∴ 所求抛物线的解析式为y1=-x2 +3x-2

2.（2）解法1： ∵ A(1,0)，B(0,-2)，  ∴ OA=1,OB=2．

      由旋转性质可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．

∴ B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

      ∵ 抛物线y1的顶点D (,)，且抛物线y2 是由y1沿对称轴平移后得到的，

∴ 可设y2 的解析式为y2= - (x -)2 +k ．

∵ y2经过点B′，∴ - (3 -)2 +k= -1．解得k=．

∴ y2= - (x -)2 +．…………………………………………………………… 4′

解法2：同解法1 得B′ 点的坐标为 (3，-1) ．

∵ 当x=3时，由y1=-x2 +3x-2得y=-2，可知抛物线y1过点 (3，-2) ．

∴ 将抛物线y1沿y轴向上平移1个单位后过点B′．

∴ 平移后的抛物线y2的解析式为：y2=-x2 +3x-1

3.（3）∵ y1=-x2+3x-2 = -(x-)2 +，y2=-x2 +3x-1= -(x-)2 +，

∴ 顶点D(,)，D1(,)． ∴ DD1=1．

又B1(0，-2)，B1(0，-1)，∴ BB1=1．

 设M点坐标为(m，n) ，

∵ BB1=DD1，由，

可知当m≤0时，符合条件的M点不存在；…………………………………… 5′

  而当0时，有m=2(m -)，解得m=3．

当m=1时，n=1； 当m=3时，n=-1．

∴ M1(1,1)，M2 (3,-1)．

【解析】略