Question

在直角坐标系XOY中，二次函数图像的顶点坐标为，且与x轴的两个交点间的距离为6.

1.（1）求二次函数解析式；

2.（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由。

Answer

1.（1）所求解析式为………3分

2.（2）在x轴上方的抛物线上存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点

的三角形与△ABC相似，

因为△ABC为等腰三角形，∴当AB=BQ，∵AB=6， ∴BQ=6，

过点O作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=，

∴∠BAC=∠ABC=30°，∴∠ACB=120°，∴∠ABQ=120°，

过点Q作QE⊥x轴于E，则∠QBE=60°，

∴QE=BQsin60°=,∴BE=3,

 ∴E(10, 0), . ………5分

当x=10时， 

 ∴点Q在抛物线上，………6分

由抛物线的对称性，还存在一点，………7分

使△ABQ′∽△CAB 故存在点或.

【解析】略