Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A

在点B的左侧），与y轴交于点C（0 , 4），D为OC的中点.

1.（1）求m的值；

2.（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；

3.（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.【解析】
（1）抛物线与y轴交于点C（0 , 4），

∴     

∴ 

2.（2）抛物线的解析式为  .

可求抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0）.

可求点E的坐标.

由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，是钝角三角形，不可能与相似，所以点F一定在x轴上方.

此时与有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：

① 当时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，

可求  F点坐标为（1，4）.                       ………3分

② 当时，.

过F点作FH⊥x轴，垂足为H.

可求  F的坐标为.                       ……………4分

（3）    

（4）    

3.(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .

由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为

可求与直线BC平行且的距离为的直线为 y=-x+9或y=-x-1.

…………………6分

∴ 点G在直线y=-x+9或y=-x-1上.

∵ 抛物线的对称轴是直线,

∴        解得

或       解得

∴ 点G的坐标为. 

【解析】略