Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．

1.（1）求证：BC是⊙O切线；

2.（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

Answer

1.【解析】
（1）证明： 如图1，连接OD．

∵ OA=OD， AD平分∠BAC，

∴ ∠ODA=∠OAD， ∠OAD=∠CAD．  ………………1分

∴ ∠ODA=∠CAD．    

∴ OD//AC．          …………………………………2分

∴ ∠ODB=∠C=90°．

∴ BC是⊙O的切线．     ……………………………3分         

2.（2）解法一： 如图2，过D作DE⊥AB于E．

∴ ∠AED=∠C=90°．

又∵ AD=AD， ∠EAD=∠CAD，

∴ △AED≌△ACD．

∴ AE=AC， DE=DC=3．

在Rt△BED中，∠BED =90°，由勾股定理，得                   图2

BE=． ………………………………………………………4分

设AC=x（x>0）， 则AE=x．

在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=BD+DC=8， AB=x+4， 由勾股定理，得

x2 +82= （x+4） 2． 

解得x=6． 

即 AC=6．             …………………………………………………………5分

解法二： 如图3，延长AC到E，使得AE=AB．

∵ AD=AD， ∠EAD =∠BAD，

∴ △AED≌△ABD．

∴ ED=BD=5． 

在Rt△DCE中，∠DCE=90°， 由勾股定理，得

CE=． ………… ……………4分           图3

在Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC=BD+DC=8， 由勾股定理，得     

AC2 +BC2= AB 2． 

即 AC2 +82=（AC+4） 2．

解得 AC=6．          …………………………………………………………5分

【解析】略