Question

已知： 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²−bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．

1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

2.（2）求代数式的值；

3.（3）求证： 关于x的一元二次方程ax²−bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

Answer

1.【解析】
（1）【解析】
由 kx=x+2，得（k-1） x=2．

依题意 k-1≠0．∴ ．      ……………………………………1分

∵ 方程的根为正整数，k为整数， ∴ k-1=1或k-1=2．

∴ k1= 2， k2=3．         …………………………………………………2分

2.（2）【解析】
依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），

       ∴ 0 =a-b+kc，  kc = b-a ．

∴ = …3分

3.（3）证明：方程②的判别式为 Δ=（-b）2-4ac= b2-4ac．   由a≠0， c≠0， 得ac≠0．

证法一：

（ i ）若ac<0， 则-4ac>0． 故Δ=b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根．……4分

（ ii ）若ac>0， 由（2）知a-b+kc =0， 故 b=a+kc．

Δ=b2-4ac= （a+kc）2-4ac=a2+2kac+（kc）2-4ac = a2-2kac+（kc）2+4kac-4ac

=（a-kc）2+4ac（k-1）．     …………………………………………………5分

∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程（k-1） x=2的根为正实数．

由 x>0， 2>0， 得 k-1>0．               …………………………………6分

∴ 4ac（k-1）>0．   ∵ （a-kc）2³0，

∴Δ=（a-kc）2+4ac（k-1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根．  …………7分

证法二：

（ i ）若ac<0， 则-4ac>0． 故Δ=b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分

（ ii ）若ac>0，∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点，

∴ Δ1=（-b）2-4akc =b2-4akc³0． 

（b2-4ac）-（ b2-4akc）=4ac（k-1）．     由证法一知 k-1>0，

∴ b2-4ac> b2-4akc³0．

∴ Δ= b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根．   …………………7分

综上， 方程②有两个不相等的实数根．

证法三：由已知，，∴

        可以证明和不能同时为0（否则），而，因此．

【解析】略