Question

  已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．

1.（1）求B、C两点的坐标；

2.（2）求直线CD的函数解析式；

3.（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．

试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？

Answer

1.【解析】
（1）∵A（2，0），

∴OA=2．

作BG⊥OA于G，

∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG=，

∴B（1，）． ………………………………1分

连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．

，∴OC=．  

∴C（0，）． …………………………………2分

2.（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径，

又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC．

∴∠OCD=30°，OD=．∴D（，0）．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），

则，解得 

∴直线CD的解析式为y=．…4分

3.（3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，

∴四边形ABCD的周长6+．

设AE=t，△AEF的面积为S，

则AF=3+－t，S=（3+）．

∵S=（3+）=．

∵点E、F分别在线段AB、AD上，

∴    ∴…………………………6分

∴当t=时，S最大=．…………8分

【解析】略