Question

 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交交于点，且．设此二次函数图象的顶点为。

1.（1）求这个二次函数的解析式；

2.（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置．将上述二次函数图象沿轴向上或向下平移后经过点．请直接写出点的坐标和平移后所得图象的函数解析式；

3.（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与轴的交点为，顶点为．点在平移后的二次函数图象上，且满足的面积是面积的倍，求点的坐标。

Answer

1.【解析】
（1）由题意，点的坐标为       ∴，

，

即．

∴．点的坐标为．…………1分

又二次函数的图象过点，．

解得，

∴所求二次函数的解析式为

2.（2）由题意，可得点的坐标为，

  所求二次函数解析式为

3.（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移个单位后所

得的图象，那么对称轴直线不变，且

点在平移后所得二次函数图象上，设点的坐标为．

在和中，，

∴边上的高是边上的高的倍……4分

①  当点在对称轴的右侧时，

有，得

∴点的坐标为；…………5分

②  当点在对称轴的左侧，同时在轴的右侧时，

有，得，

∴点的坐标为；                 

当点在轴的左侧时，，

∴，得（舍去）    

   ∴综合①、②、③可得，所求点的坐标为或

【解析】略