Question

 如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O

上，且AB=AD=AO.

1.（1）求证：BD是⊙O的切线.

2.（2）若点E是劣弧上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，

Answer

1.（1）证明：联结OB.

∵AB=AD=AO

∴∠DBA=∠D, ∠ABO=∠AOB

∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°

∴∠DBA+∠ABO=90°

∴OB⊥BD，---------------------------1分

∵点B在⊙O

∴BD是⊙O的切线.---

2.（2）【解析】
过点B作BH⊥AE于H.--------3分

∵AB=AO,AO=OB

∴AB=AO=OB

∴△ABO为等边三角形

∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C

∴∠C=30°

∵BD是⊙O的切线

∴BD⊥OB,∴∠DBO=90°, ∴∠D=30°

∴OD=2OB, ∵DB=,∴OB=2，∴AB=2.

∵∠E=∠C

∴∠E=30°

∵∠ABE=105°

∴∠BAE=45°，∴∠ABH=∠BAE=45°

∴AH=BH

设AH=BH=x

∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=.

∴BH=AB·sin45°=2×=,∴AH=--------4分

在Rt△ABH中,BE=2BH=

由勾股定理得：HE=

∴AE=+-

【解析】略