Question

 如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是     的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延长线于点C．连结AE，过点E作EF⊥AB于点F．

1.（1）求证：CE是⊙O的切线；

2.（2）若FB=2,  tan∠CAE =，求OF的长．

Answer

1.（1）证明：连结OE．       ……………………………… 1分

∵ 点E为   的中点，

∴ ∠1=∠2． 

∵ OE=OA，

∴ ∠3=∠2．

∴ ∠3=∠1．

∴ OE∥AC．

∵ AC⊥CE，

∴ OE⊥CE．       ………………………………………… 2分

∵ 点E在⊙O上，

∴ CE是⊙O的切线．

2.（2）【解析】
连结EB．

∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠AED=90°．

∵ EF⊥AB于点F，

∴ ∠AFE=∠EFB=90°．

∴ ∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°．

∴ ∠2=∠4=∠1．

∵ tan∠CAE =，

∴ tan∠4 =．

在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2， tan∠4 =，

∴ EF=．    ……………………………………………………………… 4分

设 OE=x，则OB= x．

∵ FB=2，

∴ OF=x-2．

∵ 在Rt△OEF中，∠EFO=90°，

∴ x2=(x-2)2+()2．

∴ x=3（负值舍去）．

∴ OF=1．

【解析】略