Question

已知正方形纸片ABCD．如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．

1.（1）请你找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；

2.（2）当AB=2，点P位于CD中点时，请借助图2画出折叠后的示意图，并求CG的长．

Answer

1.【解析】
（1）与相似的三角形是（或△FQG）．    ……… 1分

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．       ………………………………  2分

由折叠知  ∠EPQ=∠A=90°．

∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．     ………………………………………………………  3分

∴∽

2.（2）正确画出示意图．     …………………………………………  4分

∵ 四边形ABCD是正方形，AB=2，

∴ AB=BC=CD=DA=2．

设 AE=x，则ED=2-x，EP= x．

∵ P是CD的中点，

∴ DP=PC=1．

在Rt△EDP中，∠D=90°，根据勾股定理，得

x2=（2-x）2+1．

解得 x=．

∴ ED=．     …………………………………………  5分

∵ ∽，

∴ ．

∴ ．

∴ CG=．   

【解析】略