Question

如图，抛物线y =ax²+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y =x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．

1.（1）求点B、C的坐标；

2.（2）求抛物线的解析式；   

3.（3）求抛物线的顶点M的坐标；

4.（4）在直线y =x-3上是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

1.【解析】
（1）在y =x-3中，分别令y =0和x =0，得

x =3和y =-3．

∴ B（3，0），C（0，-3）． 

2.（2）∵ 抛物线过点A（-1，0）、B（3，0），

    ∴ 设抛物线的解析式为：y =a（x+1）（x-3）．

    ∵ 抛物线过点C（0，-3），

∴ -3= a（0+1）（0-3）．

∴ a=1．

∴ 抛物线的解析式为：y =（x+1）（x-3）．        ………………… 4分

即 y =x2-2x -3．

3.（3）由y =x2-2x -3，得y =（x -1）2-4．

    ∴ 抛物线的顶点M（1，-4）

4.（4）如图，存在满足条件的P1（1，-2）和P2（-1，-4）．

    作MN⊥y轴于点N，则∠CNM=90°．

    ∵ M（1，-4），C（0，-3），

    ∴ MN=NC=1．

       ∴ ∠MCN=45°．

       ∵∠COB=90°，B（3，0），C（0，-3），

       ∴ ∠OCB=45°．

       ∴ ∠BCM=90°．        …………………………………………… 6分

       ∴ 要使点P在直线y =x-3上，必有PC=MC.

∠MPC=∠CMP=45°．

       则 过点M分别作x轴和y轴的垂线，交直线y =x -3于点P1和P2.

       在y = x -3中，分别令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1．

则 P1（1，-2）和P2（-1，-4）

【解析】略