Question

（本题10分）.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

1.（1）求证：DE平分∠BDC；

2.（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer

1.（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15o，

∴∠BAD=∠ABD=45o﹣15o=30o，

∴BD=AD，

∴△BDC≌△ADC，

∴∠DCA=∠DCB=45o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；

2.（2）如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°，

∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，

∴△ADC≌△EMC，

∴ME=AD=DB．

【解析】略