Question

．（8分）如图1，已知直线y=2x（即直线l₁）和直线y=—x+4（即直线l₂），l₂与x轴相交于点A．点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位．设运动了t秒．

   1.（1）求这时点P、Q的坐标（用t表示）．

   2.（2）过点P、Q分别作x轴的垂线，与l₁、l₂分别相交于点O₁、O₂（如图1）．

以O₁为圆心、O₁P为半径的圆与以O₂为圆心、O₂Q为半径的圆能否相切若能，求出t值；若不能，说明理由．

Answer

1.【解析】
（1）点P的横坐标为t，P点的坐标为（t，0），

由- x+4=0得x=8，

所以点Q的横坐标为8-2t，点Q的坐标为（8-2t，0）．

2.（2）由（1）可知点O1的横坐标为t，点O2的横坐标为8-2t，

将x=t代入y=2x，得y=2t，

所以点O1的坐标为（t，2t），

将x=8-2t代入y=- x+4，得y=t，

所以点O2的坐标为（8-2t，t），

①若这两圆外切（如图），连接O1O2，过点O2作O2N⊥O1P，垂足为N．

则O1O2=2t+t=3t，O2N=8-2t-t=8-3t，O1P=2t-t=t，

所以t2+（8-3t）2=（3t）2，

即t2-48t+64=0，解得t1=24+16 ，t2=24-16 ．

②若这两圆内切，又因为两圆都x轴相切所以点P、Q重合（如图）

此时O1、O2的横坐标相同，即8-2t=t，t= ，

（或：设l2与y轴相交于点M，则 = ，即 = ，

所以t= ，

所以两圆能相切，这是t的值分别为24+16 ，24-16 和 ．

【解析】略