Question

（本题10分）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

(1)求BC的长；

(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）过点D作DE⊥BC于点E

       ∵四边形ABCD是直角梯形       ∴四边形ABED是矩形

       ∴AD=BE=2，AB=DE=8…………………（1分）

       在Rt△DEC中，CE===6 …………………（2分）

      ∴BC =8. …………………（3分）

（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F。

∵BP=t，CQ=t，       ∴AP=8－t，DQ=10－t，…………（4分）

∵DE⊥BC，QF⊥CB

∴△CQF∽△CDE

∴

∴      ∴CF=，QF=，

∴PG==，QG=8－

∴=（8－t）2+22=t2+16t+68，

∴PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=

若DQ=PD，则（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；………………（6分）

若DQ=PQ，则（10－t）2=，

解得：t1= ，t2=＞8（舍去），

此时t=；              ……… ………（8分）

（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，

      ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；………………（9分）

   而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；…………（10分）

综上,当t=或8≤t＜10时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.                                

【解析】略