Question

如图，已知抛物线C₁：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

1.求P点坐标及a的值；

2.如图（1），

抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；

3.如图（2），

点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer

1.由抛物线C1：得

顶点P的为（-2，-5）   ………2分

∵点B（1，0）在抛物线C1上

∴

        解得，a＝             ………4分

2.连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称

∴PM过点B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴顶点M的坐标为（4，5）                  ………6分

 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到

∴抛物线C3的表达式为   ………8分

3.∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称

     由（2）得点N的纵坐标为5

设点N坐标为（m，5）            ………9分

     作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G

     作PK⊥NG于K

     ∵旋转中心Q在x轴上

∴EF＝AB＝2BH＝6

     ∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）

     H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），

根据勾股定理得

     PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

     PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

     NF2＝52+32＝34               ………10分

①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0） 

②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º

综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点

的三角形是直角三角形．       ………12分

【解析】略