Question

 （本小题满分12分）

如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合）PQ⊥AB，垂足为Q．设PC=x，PQ= y．

1.⑴求y与x的函数关系式；

2.⑵试确定此RtΔABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与这个内切圆I相切？

3.⑶若0<x<1，试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相内切，若能求出相应的x的值，若不能，请说明理由．

Answer

1.⑴如图1，PQ=y

  ∵∠A=∠A，∠ACB=∠AQP=90°

  ∴RtΔAQP∽ΔRtΔACB，

∴PQ∶BC=AP∶AB

  依题意可得：BC=3，AP=4－x

∴   

化简得：

2.⑵假设直线PQ与这个内切圆I能相切，令切点为M，如图，

可知四边形IMQN也是正方形，

则有PM=PE，MQ=IN=1,

∴ PC=PQ，

即 x=y，

又  

解之，得x=.

3.⑶当⊙P与⊙I内切时，如图3，

根据勾股定理得：

即  

将代入得

解之得.

【解析】略