Question

 已知：如图，是⊙O的直径，点是上任意一点，过点作弦点是上任一点，连结交于连结AC、CF、BD、OD．

1. （1）求证：；

2.（2）猜想：与的数量关系，并证明你的猜想；

3. （3）试探究：当点位于何处时，△的面积与△的面积之比为1:2？并加以证明．

Answer

1.（1）证明：∵ 弦CD⊥直径AB于点E， ∴ ． 

    ∴ ∠ACD =∠AFC．

        又 ∵ ∠CAH=∠FAC，

       ∴ △ACH∽△AFC（两角对应相等的两个三角形相似）．--------------1分

2.（2）猜想：AH·AF=AE·AB．

证明：连结FB．

        ∵ AB为直径，∴ ∠AFB=90°．

        又∵ AB⊥CD于点E，∴ ∠AEH=90°．

 ∴． ∵ ∠EAH=∠FAB，

       ∴ △AHE∽△ABF．

       ∴ ．

       ∴ AH·AF=AE·AB．------------------------------------------------- -----3分

3.（3）答：当点位于的中点（或）时，△的面积与△的面积之比为1:2 ．

证明：设 △的面积为,△的面积为．

∵ 弦CD⊥直径AB于点E， ∴ =，=．

∵位于的中点，∴．

    又是⊙O的直径，∴ ．

∴．

又 由垂径定理知 CE=ED，∴ ．

    ∴ 当点位于的中点时，△的面积与△的面

积之比为1:2 ．  -------------------------------------------------7分

【解析】略