Question

 如图，△ABC内接于⊙O，弦AC交直径BD于点E，AG⊥BD于点G，延长AG交BC于点F．  求证：AB²＝BF·BC．

Answer

证明：延长AF，交⊙O于H.

∵直径BD⊥AH，∴= .                          ……………………2分

∴∠C=∠BAF.                                     ………………………3分

 在△ABF和△CBA中，

∵∠BAF =∠C，∠ABF=∠CBA，

∴△ABF∽△CBA.                     …………………………………………4分

∴，即AB2=BF×BC.         …………………………………………5分

证明2：连结AD，

∵BD是直径，∴∠BAG+∠DAG=90°.                    ……………………1分

∵ＡＧ⊥ＢＤ，∴∠DAG+∠D=90°.

∴∠BAF =∠BAG =∠D.                                 ……………………2分

又∵∠C =∠D，                           

∴∠BAF=∠C.                                       ………………………3分

【解析】略