Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，在AC的延长线上取点P，使∠CBP＝∠A．

1.（1）判断直线BP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

2.（2）若⊙O的半径为1，tan∠CBP＝0.5，求BC和BP的长．

Answer

1.⑴相切.

     证明：连结AN，

∵AB是直径，

∴∠ANB=90°.

        ∵AB=AC，

∴∠BAN=∠A=∠CBP.

       又∵∠BAN+∠ABN=180°-∠ANB= 90°，

        ∴∠CBP+∠ABN=90°，即AB⊥BP.

        ∵AB是⊙O的直径，

       ∴直线BP与⊙O相切.

2.  ⑵∵在Rt△ABN中，AB=2，tan∠BAN= tan∠CBP=0.5，

     可求得，BN=，∴BC=.         …………………………………………4分

     作CD⊥BP于D，则CD∥AB，.

     在Rt△BCD中，易求得CD=，BD=.      …………………………………5分

代入上式，得 =.

∴CP=.                           …………………………………………6分

∴DP=.

∴BP=BD+DP=+=. 

【解析】略