Question

 已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．

1.（1）设AE＝x，四边形AMND的面积为 S，求 S关于x 的函数解析式，并指明该函数的定义域；

2.（2）当AM为何值时，四边形AMND的面积最大？最大值是多少？

3.（3）点M能是AB边上任意一点吗？请求出AM的取值范围．  

Answer

1.⑴依题意，点B和E关于MN对称，则ME=MB=4-AM.

再由AM2+AE2=ME2=(4-AM)2，得AM=2-.            ……………………1分

作MF⊥DN于F，则MF=AB，且∠BMF=90°.

∵MN⊥BE，∴∠ABE= 90°-∠BMN.

又∵∠FMN =∠BMF -∠BMN=90°-∠BMN，

∴∠FMN=∠ABE.

∴Rt△FMN≌Rt△ABE.

∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-+x.            ………………………2分

∴S=(AM+DN)×AD

=(2-+)×4

= -+2x+8.                                ……………………………3分

其中，0≤x＜4.  

2.⑵∵S= -+2x+8= -(x-2)2+10,

  ∴当x=2时，S最大=10；             …………………………………………5分

此时，AM=2-×22=1.5              ………………………………………6分

答：当AM=1.5时，四边形AMND的面积最大，为10

3.⑶不能，0＜AM≤2.

【解析】略