Question

（本题满分12分）

如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，

如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物

线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，

两点之间，问：当点运动到什么位置时，的

面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

Answer

【解析】
（1）设抛物线为.……………1分 

       ∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.……………2分 

       ∴抛物线为.   ……………………………3分

 (2) 答：与⊙相交 …………………………………………………………………4分

证明：当时，，.

        ∴为（2，0），为（6，0）.∴.…………………5分

       设⊙与相切于点，连接，则.

      ∵，∴.

      又∵，∴.∴∽.……6分

     ∴.∴.∴.…………………………7分

     ∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.

     ∴抛物线的对称轴与⊙相交.  ……………………………………………8分

(3) 【解析】
如图，过点作平行于轴的直线交于点。

可求出的解析式为.…………………………………………9分

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.

       ∴.……………10分 

       ∵,

        ∴当时，的面积最大为.         ……………11分 

此时，点的坐标为（3，）.  ………12分

【解析】函数与圆相结合，有一定的难度。