Question

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长是____________；

（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，则m的值为_________，反比例函数解析式_________________。

．

Answer

（1）或 ；（2）1，y=

【解析】

【解析】
（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的边长CD=；

∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

∴设正方形的边长为a，

∴3a=CD=．

∴a=，

∴正方形边长为 ，

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 ；

（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，

∴△ADE≌△BAO≌△CBF．

∵m＜2，

∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C点坐标为（2-m，2），

设反比例函数的解析式为：，

∵D（2，m），C（2-m，2）

∴

∴由②得：k=2m③，

∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），

∴解得m=1，k=2，

∴反比例函数的解析式为y=．