Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上.OA∥BC，D是BC上一点，，AB=3, ∠OAB=45°，E，F分别是线段OA,AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为  ▲  ；如果△AEF是等腰三角形．△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积   ▲  .

Answer

          1、  、1、

【解析】

【解析】
过B作BM⊥x轴于M；

Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=；

∴BC=OA-AM=4-=，CD=BC-BD=；

连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；

又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，

∴OD=AB=3

由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，

∴∠1=∠2，

∴△ODE∽△AEF，

∴，即：，

∴y与x的解析式为：，

当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；

①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；

∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），

B在A′F上（A′F⊥EF）

∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；

∵，

∴，

三角形AEF的面积==

∴四边形BDEF的面积=四边形AEDB的面积-三角形AEF的面积==

②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．

∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，

∴四边形DEAB是平行四边形

∴AE=DB=，

∴三角形的面积=三角形AEF的面积==1

③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．

∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．

由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，

∴AE=AF=OA-OE=，

过F作FH⊥AE于H，则，

∴三角形的面积=，

综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或．

故答案为：，或1或．