Question

(本小题满分10分)如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F.

（1）若△OAE、△OCF的而积分别为．且，求k的值.

（2）若OA=2，0C=4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少?

Answer

见解析

【解析】（1）∵点E、F在函数y=（x＞0）的图象上，

∴设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，

∴S1=，S2=，

∵S1+S2=2，∴ =2，∴k=2；

（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，

设E(，2)，F(4，)，

∴BE=4-，BF=2-，

∴S△BEF=12(4-)(2-)=-k+4，

∵S△OCF=12×4×=，S矩形OABC=2×4=8，

∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8-(-k+4)- =-116k2++4

=-+5，

∴当k=4时，S四边形OAEF=5.

即当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.