Question

(本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如图1，当AB∥CB₁时，设A₁B₁与BC相交于点D．证明：△A₁CD是等边三角形；

(2)如图2，连接AA₁、BB₁，设△ACA₁和△BCB₁的面积分别为S₁、S₂．

求证：S₁∶S₂＝1∶3；

(3)如图3，设AC的中点为E，A₁B₁的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

Answer

见解析

【解析】（1）∵AB∥CB′，

∴∠B=∠BC B′=30°，

∴∠A′CD=60°，

又∵∠A′=60∠，

∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，

∴△A′CD是等边三角形；

（2）在Rt△ACB中∠ABC=30°

∴AC:BC=1:

又∵旋转角度为θ

∴∠ACA'=∠BCB'

又∵将△ABC旋转到△

∴AC=A'C   CB=CB'

∴AC:BC=A'C:B'C=1:

∴△ACA'∽△BCB'

∴S1∶S2＝

（3）（3）当E,C,P三点在一条直线上时取得最大值，即旋转120°，EP==.