Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD。（12分）

（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连结DE，求证：ED与⊙O相切。

Answer

（1）【解析】
∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB＝90° ………………1分

在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4

∴AB＝＝＝5 ………………2分

∵∠BAD＝∠CAB ∠ADB＝∠ABC＝90°

∴△ADB∽△ABC                  ………………4分

∴＝ 即＝

A

∴AC＝                        ………………6分

（2）证明：连结OD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB＝90° ∴∠BDC＝90°

∴△BDC是直角三角形  …………7分

又E是BC中点

∴DE＝BC＝BE   ………………8分

∴∠DBE＝∠BDE

∵OB＝OD

∴∠OBD＝∠ODB  ………………10分

∴∠OBD＋∠DBE＝∠ODB＋∠BDE

即∠ODE＝∠ABC＝90°

又∵OD是⊙O的半径

∴ED与⊙O相切 ………………12分

【解析】略