Question

（本题满分12分）

 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

1.（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

2.（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

Answer

1.（1）证明：如图I，分别连接OE、0F

 ∵四边形ABCD是菱形

 ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC

 ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．

   ∠ADO=∠ADC=×60°=30°

  又∵E、F分别为DC、CB中点

   ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD

  ∴0E=OF=OA   ∴点O即为△AEF的外心

2.（2）

①猜想：外心P一定落在直线DB上。

证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J

∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°

∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°

∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，

∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA

∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ

∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。

②为定值2.

当AE⊥DC时．△AEF面积最小，

此时点E、F分别为DC、CB中点．

连接BD、AC交于点P，由（1）

可得点P即为△AEF的外心

解法一：如图3．设MN交BC于点G

设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=

∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．

∴

∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM

∴，∴

∴

∴，即

其它解法略。

【解析】略