Question

如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在x轴上．

1.当t为何值时，点M与点O重合．

2.求点P坐标和等边△PMN的边长（用t的代数式表示）．

3.如果取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请求出当秒时S与的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer

1.（1）如图①，点M与点O重合．

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．由OB=12，∴AB=8，AO=4．

∵△PON是等边三角形，∴∠PON=60°．∴∠AOP=60°．∴AO=2AP，即4=2t．解得t=2．∴当t=2时，点M与点O重合．

2.（2）如图②，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S．

可求得AQ=AP=，PS=QO=4－．

∴点P坐标为（，4－）．       ………………6分

在Rt△PMS中，sin60°=，

∴PM=（4－）÷=8－t．

3.（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，见图③．

设PN交EF于点G，则重叠部分为直角梯形FONG，作GH⊥OB于点H．

∵∠GNH＝60°，GH=2，∴HN=2．∵MP=8－t，∴BM=2MP=16－2t．

∴OM=BM－OB=16－2t－12=4－2t．∴ON=MN－OM=8－t－（4－2t）=4＋t．

∴FG=OH=ON－HN=4＋t－2=2＋t． ∴S=(2＋t＋4＋t)×2=2t＋6．

∵S随t的增大而增大，∴当t=1时，S最大=8．…10分

（Ⅱ）当1＜t≤2时，见图④．设PM交EF于点I，交FO于点Q，PN交EF于点G．

重叠部分为五边形OQIGN．

OQ=4－2t，FQ=2－(4－2t)= 2t－2，

FI=FQ=2t－2．

∴三角形QFP的面积=(2t－2)(2t－2)= 2(t2－2t＋1)．

由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面积=2t＋6，

∴S=2t＋6－2(t2－2t＋1)=－2(t2－3t－2)．

∵－2＜0，∴当t=时，S有最大值，S最大=．

综上所述：当0≤t≤1时，S=2t＋6；当1＜t≤2时，S=－2t2＋6t＋4；

∵＞8，∴S的最大值是．

【解析】略