Question

1.如图25-1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;

 2.如图25-2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.

3.如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

Answer

1.证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.  

∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°, AB＝AD，

∴△ABG≌△ADF.

∴AG＝AF, ∠1＝∠2．    

∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又AE＝AE，

∴△AEG≌△AEF.

∴EG＝EF．                

∵EG=BE+BG．

∴EF= BE＋FD                   

2. (1)中的结论EF= BE＋FD仍然成立.       

3.结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．

证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF．

∵AB＝AD，

∴△ABG≌△ADF.

∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．       

∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD

=∠EAF =∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE＝AE，

∴△AEG≌△AEF.

∴EG＝EF      

∵EG=BE－BG   

∴EF=BE－FD．  

【解析】略