Question

如图，已知抛物线C₁：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是．

1.求点坐标及的值；

2.如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向左平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C₃的解析式；

3.如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．

Answer

1.由抛物线C1：得顶点P的坐标为（2，5）

∵点A（－1，0）在抛物线C1上∴

2.连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..

∵点P、M关于点A成中心对称,∴PM过点A，且PA＝MA..∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴顶点M的坐标为（，5）

∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到

∴抛物线C3的表达式

3.∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称. 由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.∵旋转中心Q在x轴上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.

根据勾股定理，得

①当∠PNE＝90º时，PN2+ NE2＝PE2，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）

②当∠PEN＝90º时，PE2+ NE2＝PN2，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】略