已知抛物线． 1.求抛物线顶点M的坐标； 2.若抛物线与x轴的交点分别为点A、B...

已知抛物线．

1.求抛物线顶点M的坐标；

2.若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

3.在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1.∵抛物线∴顶点M的坐标为． 2.抛物线与与x轴的两交点为A(-1,0) ，B（2，0）．设线段BM所在直线的解析式为． ∴解得 ∴线段BM所在直线的解析式为．设点N的坐标为．∵点N在线段BM上，∴. ∴． ∴S四边形NQAC＝S△AOC＋S梯形OQNC． ∴S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为． 3.假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且．，，．分以下几种情况讨论： ①若∠PAC＝90°，则．∴ 解得，．∵ ．∴．∴． ②若∠PCA＝90°，则．∴ 解得，．∵，∴．∴．当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角． ∴存在符合条件的点P，且坐标为，．【解析】略

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考点分析：

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直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．

1.若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若，则（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；

2.如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

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已知二次函数．

1. 求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

2. 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；

3.将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

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在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究

1.正方形FGCH的面积是；（用含a， b的式子表示）

2.类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

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