Question

如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

1.求证：BD是⊙O的切线；

2.若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

Answer

1.证明：联结BO，

方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

∵AB＝AO，

∴∠ABO＝∠AOB，

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，

                                    ∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切线．

方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，

∴∠BAO＝∠ABO＝60°，

∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，

又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，

∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切线．

方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上

∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，

∴BD是⊙O的切线．

2.【解析】
∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF，

                             ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，

                               又∵CF=9，∴EF=6．

【解析】略