Question

(本小题满分12分)

    如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线

经过A、B、C三点。

    1.(1)求此抛物线的函数表达式；

    2.(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

    3.(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.【解析】
（1）∵，设，则

∴

又，∴

∵

∴，即。

而，∴。

∴,

∴△ABC三个顶点的坐标分别是

,,

∵抛物线经过A、B、C三点，

∴设，把代入得

∴此抛物线的函数表达式为

2.（2）设点E的坐标为，

∵点E在Y轴右侧的抛物线上，∴。

有抛物线的对称性，知点F与点E关于抛物线的对称轴x=2对称，

易得点F的坐标为。

要使矩形EFGH能成为正方形，有,

则

∴  ①

或  ②

由①得，，解得（舍去）

由②得，，解得（舍去）

当时，

此时正方形EFGH的边长为。

当时，

此时正方形EFGH的边长为。

∴当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长为或

3.（3）假设存在点M，使△MBC中BC边上的高为。

∴M点应在与直线BC平行，且相距的两条平行直线和上。

由平行线的性质可得：和与y轴的交点到直线BC的距离也为。

如图，设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直，垂足为点Q，

∵，

∴∠OBC=∠OCB=45°

在Rt△PQC中，，∠PCQ=∠OCB=45°

∴由勾股定理，得

∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)

同理可求得：与y轴交点坐标为，

易知直线BC的函数表达式。

∴直线和的函数表达式分别为。

根据题意，列出方程组：①，②

由①得，，解得；

由②得，

∵△=-31<0

∴此方程无实数根。

∴在抛物线上存在点M，使△MBC中BC边上的高为，其坐标分别为：

另【解析】
易求直线BC的表达式为：

整理得

设

由点到直线的距离得

解得

∴或（无实数根）

∴或

代入得。

【解析】略