Question

如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．

1.求经过A、B、D三点的抛物线的解析式

2.点P是第一象限内抛物线上一点，是否存在这样的点P，使得点P到直线CD的距离最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴ A(-2, 0)、B(0, 4). …………1分

∵△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD

∴ C(0, 2)、D(4, 0) …………2分

∴ 过A、B、D的抛物线解析式为y= - x2+x+4…………4分

2.∵C(0, 2)、D(4, 0)

∴ 直线CD解析式为y= - x+2…………5分

设P(x, - x2+x+4)   (0＜x＜4)…………6分

   作PE^x轴于E，交CD于Q,

则E(x, 0), Q(x, - x+2) …………7分

 ∴PQ=(- x2+x+4)-(- x+2)= - x2+x+2 …………8分

OE=x,   DE=4-x

∴S△PCD=S△PCQ+S△PDQ=PQ·OE+PQ·DE=PQ·OD

=(- x2+x+2)×4= -x2+3x+4= - (x-)2+…………9分

∴当x=时，△PCD的面积最大，也即P到CD得距离最大。

∴存在点P，使得点P到直线CD的距离最大，此时P点的坐标为（，）

…………10分

【解析】略