Question

已知A(2，0)，直线y=(2−)x−2交x轴于点F，y轴于点B，直线l∥AB且交 y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A' ,连结AA'，A'D。直线l从AB开始，以1个单位每秒的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t.

1.求A'点的坐标（用t的代数式表示）

2.请猜想AB与AF长度的数量关系，并说明理由

3.过点C作直线AB的垂线交直线y=(2−)x−2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？

Answer

1.∵l∥AB．    ∴∠ODC=∠OAB

∵A(2, 0)   B(0, -2)    ∴tan∠OAB=

∴∠ODC=∠OAB=30°                       ……………1分

         ∵BC=t,    ∴OC=2−t,    ∴OD=(2−t)    ∴AD=t

         ∵点A关于直线l的对称点为A',   

            ∴A'D=AD=t     ∠A'DA=60°  ∴△A'DA是正三角形 ………2分

            过点A'作A'H⊥AD于H,      ∴AH=t    A'H=t

           ∴A'点的坐标为(2−t, t)             ……………3分

2.AB=AF                                  …………4分

说明：∵F(4+2, 0)    ∴AF=4

   在Rt△OAB中，OA=2, OB=2,   ∴AB=4,

   ∴AB=AF                              …………6分

3.∵直线l是点A和A'的对称轴

    ∴直线l是∠A'DA的平分线

    ∴点C到直线AD和A'D的距离相等

    ∴当⊙C与AD相切时，也一定与A'D相切…………7分

    ∵∠OAB=30°且AB=AF

    ∴∠ABF=15°    ∴∠CBF=75°

    ∵CE⊥AB    ∠OBA=60°    ∴∠BCE=30°

    ∴∠CEB=75°    ∴CB=CE…………（8分）

    ∵⊙C与AD相切    ∴OC=CE=CB    ∴t=1…………9分

    当⊙C与A A'相切于点M时，CE=CB=CM

    ∴CM=t

    ∵CM=DM-CD

    在Rt△OCD中，∠ODC=30°, OC=t−2

    ∴CD=2t−4

    ∴2t−4+t=t     ∴t=               …………10分

【解析】略