Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上， CF⊥OC，

且CF=BF.

1.证明：BF是⊙O的切线;

2.设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小

Answer

1.证明：连接OF.

∵ CF⊥OC,

∴ ∠FCO=90°.

∵ OC=OB，

∴ ∠BCO=∠CBO.

∵ FC=FB，

∴ ∠FCB=∠FBC.                                        

∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.

即 ∠FBO=∠FCO=90°.

∴ OB⊥BF.

∵ OB是⊙O的半径,

∴ BF是⊙O的切线.

2. ∵ ∠FBO=∠FCO=90°，

∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.

∵ OA=OC，

∴ ∠ACO=∠A.

∴ ∠FCM=∠M.                                      

易证△ACB∽△ABM,

∴ .

∵ AB=4，MC=6，

∴ AC=2.            ∴ AM=8，BM==.

∴cos∠MC F = cosM ==.

∴ ∠MCF=30°.    

【解析】略