Question

1.请阅读材料并填空：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连结PP′．

根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝­＿＿＿＿°，等边△ABC的边长为＿＿＿＿．

2.请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

Answer

1.150°，

2.如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．  ……3分

∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′＝．

连结PP′，在Rt△BP′P中，∵ BP＝BP′＝，∠PBP′＝90°，

∴ PP′＝2，∠BP′P＝45°．  …………4分

在△AP′P中， AP′＝PC＝1，PP′＝2，AP＝，∵ 12＋22＝()2，即AP′ 2＋PP′ 2＝AP2．

∴ △AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°．  …………5分

∴∠AP′B＝∠AP′P＋∠BP′P＝135°．

∴ ∠BPC＝∠AP′B＝135°．  …………6分

过点B作BE⊥AP′交AP′的延长线于点E．

则∠EP′B＝45°，∴ EP′＝BE＝BP′＝1，∴AE＝2.

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝．  …………8分

∴∠BPC＝135°，正方形边长为．

【解析】略