Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．

1.若直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，求b的值；

2.在（1）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；

3.在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上

Answer

1.∵直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，∴其必过矩形的中心

由题意得矩形的中心坐标为（6，3），∴3＝－×6＋b

解得b＝12 4分

2.假设存在ON平分∠CNM的情况

①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H

∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，∴OH＝OC＝6

由（1）知OP＝12，∴∠OPM＝30°

∴OM＝OP·tan30°＝

当y＝0时，由－x＋12＝0解得x＝8，∴OD＝8

∴DM＝8－ ···················· 6分

②当直线PM与直线BC和x轴相交时

同上可得DM＝8＋（或由OM＝MN解得） 8分

3.假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′ 处连结PO′、OO′，则有PO′＝OP

由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′＝OO′

∴△OPO′ 为等边三角形，∴∠OPD＝30°

而由（2）知∠OPD＞30°

所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上 ··········· 9分

设沿直线y＝－x＋a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′ 处

连结P′O′、OO′，则有P′O′＝OP′＝a

由题意得：CP′＝a－6，∠OPD＝∠AO′O

在Rt△OPD中，tan∠OPD＝

在Rt△OAO′ 中，tan∠AO′O＝

∴＝，即＝，AO′＝9

在Rt△AP′O′ 中，由勾股定理得：( a－6 )2＋9 2＝a 2

解得a＝，12－＝

所以将直线y＝－x＋12沿y轴向下平移个单位得直线y＝－x＋，将矩形OABC沿直线y＝－x＋折叠，点O恰好落在边BC上     12分

 【解析】略