Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、

A（4，0）、B（3，）三点

1.求此抛物线的解析式

2.以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

Answer

1.设抛物线的解析式为：

 由题意得：   ……………1分

解得： ………………2分

∴抛物线的解析式为： ………………1分

2.存在

抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），

设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C

连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2,  ∠CBM = 30°,  CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 ,   ∴B (-2, 0)                  

   在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°

∴DM = 1,   CD = =         ∴   C (1, )

设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：

         解得： 

∴切线BC的解析式为：

∵点P为抛物线与切线的交点

由         解得：         

∴点P的坐标为：，     ………………4分

∵ 抛物线的对称轴是直线

此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形

于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)

得到B、C关于直线的对称点B1、C1

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：

 ，即为所求的点. ………………4分

 【解析】略